La decomposizione dei valori singolari, di solito indicata come SVD, è probabilmente uno dei più importanti strumenti di algebra lineare utilizzati per risolvere molti problemi di dinamica strutturale
la formulazione matematica
Presentiamo prima, nel modo più semplice, la formulazione matematica (matriciale) della SVD e alcune delle sue varianti, e poi descriviamo il suo uso nell'analisi modale.
Sia una matrice quadrata [A] di dimensioni n x n. L'equazione di base della SVD è :
L'espansione della formulazione dà :
Questa nuova formulazione implica che la matrice A è composta da un insieme di vettori e valori singolari che la descrivono. Può anche essere definita come una matrice composta da altre matrici che sono molto semplicemente descritte da un vettore e un autovalore corrispondente. Infine, la SVD ha quindi realmente la capacità di determinare gli "elementi principali" che compongono la matrice A. Questo implica anche che il rango della matrice può essere determinato.
Questo strumento matematico è utilizzato nell'applicazione delle tecniche dianalisi modale operativa (OMA) per determinare le deformazioni modali
Esempio di decomposizione del valore singolare
Nel seguente esempio, considereremo il metodo della decomposizione del dominio della frequenza (FDD) per determinare le deformazioni modali: Supponiamo di avere una struttura strumentata con accelerometri (quattro in questo esempio), distribuiti in modo equidistante. Supponiamo anche che i sensori siano orientati nello stesso modo e che ogni sensore sia monoassiale. Immaginiamo ora che per ogni sensore, abbiamo la risposta in frequenza della struttura (le risposte dei sensori sono registrate allo stesso tempo).
Da questi dati, la matrice di densità spettrale di potenza [Gyy] può essere costruita per ogni indice di frequenza i :
PSD è la densità spettrale di potenza, CSD è la densità spettrale incrociata, gli indici da 1 a 4 indicano i sensori e l'indice i indica l'indice di frequenza.
Infine, questa matrice diventa particolarmente interessante quando l'indice di frequenza i corrisponde a una frequenza naturale della struttura.
La matrice
Può essere decomposto in valori singolari. Il numero di elementi non nulli nella diagonale della matrice singolare S corrisponde al rango della matrice di densità spettrale. I vettori singolari 𝑢𝑖 corrispondono a una stima delle distorsioni modali non normalizzate e i corrispondenti valori singolari 𝑠𝑖 sono le densità spettrali del sistema a 1 grado di libertà.
I valori singolari sono disposti in modo decrescente lungo la matrice S. Il valore più grande, cioè 𝑠1 corrisponde al vettore {𝑢1} ({𝑢1}𝑠1{𝑣1}𝑡). Inoltre, evidenzia il fenomeno preponderante che è la deformazione modale nel nostro caso quando l'indice di frequenza corrisponde a una frequenza naturale del sistema studiato.
La domanda che si può fare per la decomposizione del valore singolare.
Tutto sommato, Gyy è composto da PSD e CSD, il PSD è reale e il CSD è complesso. La decomposizione dei valori singolari riguarda la natura dei dati, quindi la deformazione modale risultante è complessa. Come interpretare una deformazione complessa?
