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Décomposition en valeurs singulières : outil mathématique incontournable

By 23 août 2021No Comments
AD-SIGNUM Décomposition en valeurs singulières

La décomposition en valeurs singulières, généralement appelée SVD, est probablement l’un des outils d’algèbre linéaire les plus importants qu’on utilise pour résoudre un bon nombre de problèmes de dynamique de structure

la formulation mathématique

Présentons d’abord, de la façon la plus simple, la formulation mathématique (matricielle) de la SVD et certaines de ses variantes, puis décrivons son utilisation dans l’analyse modal.

Soit une matrice carrée [A] de taille n x n. L’équation de base de la SVD est :

Equation de base
Décomposition en valeurs singulières

L’expansion de la formulation donne :

Expansion de la formule
Décomposition en valeurs singulières

Cette nouvelle formulation implique que la matrice A est composée d’un ensemble de vecteurs et de valeurs singulières qui la décrivent. On peut aussi la définir comme matrice composée d’autres matrices qui sont très simplement décrites par un vecteur et une valeur propre correspondante. Finalement, le SVD a donc réellement la capacité de déterminer les « éléments principaux » qui composent la matrice A. Cela implique également que le rang de la matrice peut être déterminé.

Cet outil mathématique est utilisé lors de l’application des techniques d’analyse modale opérationnelle (AMO) pour déterminer les déformées modales

Exemple de la décomposition en valeurs singulières

Dans l’exemple qui suit, nous allons considérer la méthode décomposition dans le domaine fréquentielle (FDD) pour déterminer les déformées modales : Supposons que l’on dispose d’une structure instrumentée par des accéléromètres (quatre dans cet exemple), répartis d’une façon équidistante. Supposons aussi que les capteurs sont orientés de la même façon et que chaque capteur est uni-axial. Imaginons maintenant que pour chaque capteur, on dispose de la réponse fréquentielle de la structure (les réponses des capteurs sont enregistrées en même temps).

A partir de ces données, on peut construire la matrice de densité spectrale de puissance [Gyy] pour chaque indice de fréquence i :

Matrice de densité spectrale de puissance
Décomposition en valeurs singulières

PSD est la densité spectrale de puissance, CSD est la densité spectrale croisée, les indices 1 à 4 désignent les capteurs et l’indice i désigne l’indice de fréquence.

Finalement, Cette matrice devient particulièrement intéressante lorsque l’indice de fréquence i correspond à une fréquence propre de la structure.

La matrice

Elle peut être décomposée en valeurs singulières. Le nombre d’éléments non nuls dans la diagonale de la matrice singulière S correspond au rang de la matrice de densité spectrale. Les vecteurs singuliers 𝑢𝑖 correspondent à une estimation des déformées modales non normalisées et les valeurs singulières 𝑠𝑖 correspondantes sont les densités spectrales du système à 1 degré de liberté.

Les valeurs singulières sont arrangées d’une manière décroissante le long de la matrice S. La plus grande valeur, c’est-à-dire 𝑠1 correspond au vecteur {𝑢1} ({𝑢1}𝑠1{𝑣1}𝑡). De plus, elle met en valeur le phénomène prépondérant qui est la déformée modale dans notre cas lorsque l’indice de fréquence correspond à une fréquence propre du système étudié.

La question qu’on peut se poser pour la décomposition en valeurs singulières.

Tout bien pensé, Gyy est composée de PSD et CSD, la PSD est réelle quant à la CSD, complexe. par conséquent Gyy est complexe. La décomposition en valeurs singulières concerne la nature des données, ainsi la déformée modale obtenue est complexe. Comment interpréter une déformée complexe ?